Несколько слов о фракталах и их приложениях

Научные исследования, проведенные на кафедре теории вероятностей Института математики Силезского университета им. Петр Яношка.

Несколько слов о фракталах и их приложениях

"Увидеть мир в песчинке,
Небеса в одном цветке из леса.
Держи простор в своей сжатой руке,
В час - бесконечное время
Уильям Блейк

В разговорном смысле мы называем фрактальный объект, части которого похожи на целое (самоподобные) или показывающие тонкие детали в многократном увеличении (бесконечно тонкие).
Стоит добавить, что создателем концепции фрактала является выдающийся математик польского происхождения, проф. Бенуа Мандельброт из Американского университета Йельского университета, который представил теорию фракталов в 1970-х годах

Одним из методов создания фракталов является использование определенных специальных математических функций. Получающиеся объекты часто являются коллекциями, имеющими относительно простое математическое и естественное (рваное или вихревое) определение. Таким образом, мы можем получить фракталы с интересными именами: множество Кантора, треугольник Серпинского, куб Менгера, папоротник Барнсли, кривая Коха, дракон Хейуэй.

Еще один метод создания фракталов - это использование числовых последовательностей, с помощью которых можно получить интересные фракталы: коллекцию Мандельброта, коллекцию Юлии, «Горящий корабль». Часто изображения рассматриваемых коллекций являются очень красочными, они характеризуются нетривиальностью структуры в любом масштабе, более того, эта структура не может быть легко описана с использованием обычной геометрии.

Одной из характерных особенностей фрактала является его самоподобие, то есть сходство части с целым. Для самоподобных фигур мы можем определить размер, называемый измерением самоподобия или размерностью блока. Это величины, которые являются обобщениями классических определений размерности. При определении размерности самоподобия фигуры мы используем логарифмы. В случае фрактальных множеств это измерение не может быть целым числом, например, измерение самоподобия множества Кантора:
d = log 2 / log 3 = 0.630929754 ...,
размерность автомодельности треугольника Серпинского равна:
d = log 3 / log 2 = 1.584962501 ...,
тогда как измерение самоподобия ковра Серпинского:
d = log 8 / log 3 = 1.892789261 ...
Поэтому еще одна задача для математиков состоит в том, чтобы вычислить размеры фрактальных множеств, что является сложным процессом.

Фракталы используются в различных сферах жизни. В настоящее время почти каждый мобильный телефон использует встроенную фрактальную антенну. В окружающей нас природе существует много фрактальных эквивалентов. Примеры включают снежинки, систему кровеносных сосудов, речные водные системы, молнии, облака, фьорды, синусоиды и скальные образования. Фракталы - это объекты, которые часто встречаются в компьютерной графике, потому что многие компьютерные программы создаются специально для получения фрактальных изображений.

Изображения приходят из Википедии ( http://pl.wikipedia.org ), авторы / пользователи: Роберт Сонтхаймер, Überraschungsbilder (фото Скотт Дрейвс и Электрические овцы ), Kimbar, Wrtlprnft, Agro1986, Томаш Венгжановский, Wrtlprnft, Solkoll, Soler97 и Fir0002.

Похожие

... их получили серьезные или умеренные травмы и нуждались в госпитализации. СМИ сообщают, что все ранен...
... их получили серьезные или умеренные травмы и нуждались в госпитализации. СМИ сообщают, что все раненые - работники нефтеперерабатывающего завода. В результате пожара около 1800 человек из близлежащих городов - Вохбург и Иршинг также были вынуждены покинуть свои дома. Жители были временно размещены в соседней школе, пока ситуация не контролировалась заводом. Несколько сотен пожарных все еще работают на месте, борются с огнем. По словам местных властей, пока не установлено,
Как рассчитать стандартное отклонение выборки и популяции?
... слов, чтобы напомнить вам, что такое стандартное отклонение Напомним в начале, что такое стандартное отклонение. Это мера изменчивости распределения, которая он говорит о том, насколько значения проверяемой функции отклоняются от среднего арифметического. Большое стандартное отклонение информирует нас о том, что население очень разнообразно, а небольшое стандартное отклонение говорит о том, что отдельные единицы близки к среднему. Узор, напомню, выглядит
Мошенничество в уходе. Няню можно обмануть только один раз
На каждом шагу мы сталкиваемся с «маленьким» обманом Человек, который уже несколько лет работает в сфере ухода за больными на стадии чтения объявлений о работе, может поймать обман на уходе. Если бы все предложения о работе были хотя бы вдвое менее привлекательными и хорошо оплачиваемыми, чем это видно из рекламы в Интернете, жизнь няньки была бы действительно лучше. Вероятно, нет другой отрасли, где реклама так подчеркивает, что является нормой на рынке труда, не только
Делегации 2017 от Profbi - дружеская программа для расселения делегаций
... ии Программа делегаций предназначена для учета и учета отечественных и иностранных делегаций. Наиболее важные функции: Возможность расчета нескольких поездок (много направлений), особенно полезно для транспортных компаний Список делегаций Файл сотрудника Справочник целей делегирования Карта транспортных средств Файлы стран Возможность добавить несколько собственных компаний - что особенно оценят бухгалтерии.
Средства защиты растений и ответственность производителей продуктов питания
Национальный совет сельскохозяйственных палат напоминает фермерам об ответственности, которую они несут как производители, поставляющие продукты питания на рынок. Это связано с выбором подходящих средств защиты растений. Однако незарегистрированные препараты появляются на рынке чаще. Устранение спроса В связи с необходимостью ограничить использование незаконных, незарегистрированных препаратов был создан специальный веб-сайт.
APY - что это и для чего?
... их сложно сосчитать самостоятельно. Например, это не всегда тот случай, когда кредит с более низкой процентной ставкой в ​​конечном итоге окажется дешевле. Иногда другие факторы могут сильно увеличить его цену. APY позволяет увидеть, какой будет окончательный кредит. Калькуляторы APY - стоит ли их использовать? В отличие от калькуляторов кредитоспособности, то есть простых инструментов, которые не сообщат вам со 100% уверенностью, получите ли вы кредит (поскольку
Акции и халява в интернет-магазине - как их решить?
... словами, товар, который не является полной стоимостью. В правилах не указывается максимальная стоимость или объем, который мог бы квалифицировать продукт как «образец», но определяется его как «образец продукта, направленный на стимулирование его продажи и позволяющий оценивать его характеристики и свойства без конечного использования, кроме как неотъемлемо связанных с такой рекламной деятельностью». ». В вышеуказанных ситуациях вам не нужно выставлять счета-фактуры или квитанции
Пользователи PlayStation 4 наконец смогут изменить имя PSN ID
Мы ждали этого слишком долго. Пользователи консолей PlayStation 4 наконец смогут изменить имя своих учетных записей PSN. Мы сделаем первое изменение бесплатно, но мы должны заплатить за следующее. Имена пользователей PSN ID представляют собой прекрасную галерею грехов молодежи. xXx_PussyAnihilator_xXx , Czuły69 , Ferdek-Kiepski , AAATwojaStar и сотни тысяч других игроков до сих пор стыдятся своего
Класс чтения 1 - лучшие упражнения для начальной школы
... ие упражнений для начинающих читателей, 1-й класс Учиться читать стало проще: благодаря нашим упражнениям на свободное чтение ваш ребенок погрузится в приключение обучения чтению . Чтение не работает с самого начала. Сначала должны быть созданы основы. Наши шаблоны копирования - это бесплатные рабочие листы, с помощью которых первоклассники узнают буквы и звуки .
Графики - StatSoft Polska
... приложениях. Экспорт в другой формат файла. Если график должен использоваться в приложении, которое не поддерживает OLE и ActiveX, мы можем сохранить его в файле метафайла (с расширением * .wmf), растровом изображении (с расширением * .bmp), JPEG (с расширением * .jpg) или PNG (переносная сеть). графика; с расширением * .png), выбрав соответствующую опцию в списке Тип файла в окне Сохранить как. Ограничения стандартного формата Windows Metafile. Очень большие (в смысле
Милка сожалеет о поляках с орехами в шоколаде. В немецкой версии их больше
... их пор не имеют далеко идущих взглядов на двойное качество пищи. Однако есть и те, кто четко считает, что товары, продаваемые в нашей стране, значительно отличаются от товаров на западе. Как это на самом деле? К сожалению, у нас нет хороших новостей Управление по конкуренции и защите прав потребителей (UOKiK) подтвердило, что некоторые из проблем, представленных на польском рынке, представили продукцию более низкого качества, чем те, которые были поставлены

Комментарии

Их стоит знать, но остается вопрос, может ли их ностальгия по миру, которого больше нет, способствовать современному экологическому дискурсу?
Их стоит знать, но остается вопрос, может ли их ностальгия по миру, которого больше нет, способствовать современному экологическому дискурсу? .. В этой теме Ремигиуш Окраска в интервью, опубликованном в журнале, дает хороший комментарий: «С точки зрения зеленого консерватизма - хорошо, что Скрутон напоминает эту традицию. Стоит напомнить, однако, что в течение многих лет он понятия не имел о ней. Он, как и Грей, философ, выросший из скудной неоконсервативной традиции, которая поклонялась
Несколько слов о пенсиях что, как, почему?
Несколько слов о пенсиях что, как, почему? Тема реки и часто вызывает споры. Почему стоит поговорить? Потому что, к сожалению, мы не всегда заботимся о нашем будущем. Это часто слишком далекие времена для нас. Работа моряка специфична. В большинстве случаев это не гарантирует выход на пенсию или обеспечение в случае аварии и т. Д. Смело пишите в комментариях, как вы справляетесь с этой ситуацией. Может быть, у вас
Улучшение и эксплуатационные расходы - как их различить и уладить?
Улучшение и эксплуатационные расходы - как их различить и уладить? Как отличить улучшение от текущих эксплуатационных расходов компании? Определение улучшения основных средств можно найти в законе о подоходном налоге с населения . Основные средства считаются улучшенными, если сумма затрат на их реконструкцию, расширение, реконструкцию, адаптацию или модернизацию в течение налогового года превышает 3500 злотых. Второе условие
Есть ли универсальные устройства, которые будут их удовлетворять?
Есть ли универсальные устройства, которые будут их удовлетворять? Есть несколько решений, которые стоит использовать. 1. Мел и магнитные доски Цены: от 60 до 190 злотых Категория в магазине: Доски для детей
Может быть, стоит избавиться от электронных чаевых в обмен на несколько злотых?
Может быть, стоит избавиться от электронных чаевых в обмен на несколько злотых?
Какие отрасли промышленности чаще всего используют компаундные продукты и что влияет на их решения?
Какие отрасли промышленности чаще всего используют компаундные продукты и что влияет на их решения? Автомобильная, бытовая техника и электротехника - несомненно, крупнейшие получатели модифицированных пластиков, которые все чаще заменяют традиционное сырье, используемое в производстве. Это определяется постоянно улучшающимися параметрами: эти материалы все более и более точно соответствуют индивидуальным требованиям, а традиционные продукты конкурируют по долговечности
Так что в битве между iPhone XS Max, Samsung Galaxy S9 +, Sony Xperia XZ2 и Huawei P20 Pro, кто их всех правит?
Какие отрасли промышленности чаще всего используют компаундные продукты и что влияет на их решения? Автомобильная, бытовая техника и электротехника - несомненно, крупнейшие получатели модифицированных пластиков, которые все чаще заменяют традиционное сырье, используемое в производстве. Это определяется постоянно улучшающимися параметрами: эти материалы все более и более точно соответствуют индивидуальным требованиям, а традиционные продукты конкурируют по долговечности
Вы изучаете язык, но через несколько лет видите ли вы желаемый результат?
Вы изучаете язык, но через несколько лет видите ли вы желаемый результат? Вы не устали от традиционных методов изучения языка и думаете попробовать некоторые альтернативные способы обучения. Но как признаться в потоке рекламных слоганов, которые обещают выучить иностранный язык в рекордно короткие сроки? У нас есть несколько советов, с которых можно начать. Преимущества альтернативных методов Необычные образовательные программы в основном предлагают интересную среду, работают в
Можете ли вы разместить несколько графиков на одной странице?
Можете ли вы разместить несколько графиков на одной странице? Да. На одной странице вы можете распечатать несколько графиков, соединив их или вставив в пустой график. Хотя вы можете сделать это вручную, вырезав и вставив (когда включена функция захвата), самый простой метод - использовать команду «Шаблоны» или «Мастер» из меню «Диаграммы - Мультиплоттеры» или «Мультиплоттеры», которые автоматизируют размещение нескольких графиков на одной странице. Что такое мастер компоновки
Сегодня даже двухлетние дети могут справиться с этим типом устройства - единственный вопрос, является ли это полезным или вредным для их развития и обучения говорить?
Сегодня даже двухлетние дети могут справиться с этим типом устройства - единственный вопрос, является ли это полезным или вредным для их развития и обучения говорить? Правильно подобранный интернет-контент, представленный на мобильных устройствах, может оказать положительное влияние на развитие детей, однако слишком раннее и интенсивное использование этих устройств может иметь негативные последствия для психофизического развития ребенка, развития речи и формирования межличностных контактов
Что это значит, что их изменение со временем важнее уровня цен?
Что это значит, что их изменение со временем важнее уровня цен? Имея данные о поведении цены в прошлом, можно попытаться предсказать, как поведет себя временной ряд в будущем. Это лучше всего видно на примере сезонных продуктов, например, когда клубника только что показана, она самая дорогая, а затем постепенно становится дешевле. Конечно, вам также необходимо учитывать погоду и размер урожая. Значит, у вас должна быть хорошая база цен, и тогда это чистая

APY - что это и для чего?
Калькуляторы APY - стоит ли их использовать?
Их стоит знать, но остается вопрос, может ли их ностальгия по миру, которого больше нет, способствовать современному экологическому дискурсу?
Несколько слов о пенсиях что, как, почему?
Почему стоит поговорить?
Улучшение и эксплуатационные расходы - как их различить и уладить?
Как отличить улучшение от текущих эксплуатационных расходов компании?
Есть ли универсальные устройства, которые будут их удовлетворять?
Может быть, стоит избавиться от электронных чаевых в обмен на несколько злотых?
Какие отрасли промышленности чаще всего используют компаундные продукты и что влияет на их решения?