Несколько слов о фракталах и их приложениях

Научные исследования, проведенные на кафедре теории вероятностей Института математики Силезского университета им. Петр Яношка.

Несколько слов о фракталах и их приложениях

"Увидеть мир в песчинке,
Небеса в одном цветке из леса.
Держи простор в своей сжатой руке,
В час - бесконечное время
Уильям Блейк

В разговорном смысле мы называем фрактальный объект, части которого похожи на целое (самоподобные) или показывающие тонкие детали в многократном увеличении (бесконечно тонкие).
Стоит добавить, что создателем концепции фрактала является выдающийся математик польского происхождения, проф. Бенуа Мандельброт из Американского университета Йельского университета, который представил теорию фракталов в 1970-х годах

Одним из методов создания фракталов является использование определенных специальных математических функций. Получающиеся объекты часто являются коллекциями, имеющими относительно простое математическое и естественное (рваное или вихревое) определение. Таким образом, мы можем получить фракталы с интересными именами: множество Кантора, треугольник Серпинского, куб Менгера, папоротник Барнсли, кривая Коха, дракон Хейуэй.

Еще один метод создания фракталов - это использование числовых последовательностей, с помощью которых можно получить интересные фракталы: коллекцию Мандельброта, коллекцию Юлии, «Горящий корабль». Часто изображения рассматриваемых коллекций являются очень красочными, они характеризуются нетривиальностью структуры в любом масштабе, более того, эта структура не может быть легко описана с использованием обычной геометрии.

Одной из характерных особенностей фрактала является его самоподобие, то есть сходство части с целым. Для самоподобных фигур мы можем определить размер, называемый измерением самоподобия или размерностью блока. Это величины, которые являются обобщениями классических определений размерности. При определении размерности самоподобия фигуры мы используем логарифмы. В случае фрактальных множеств это измерение не может быть целым числом, например, измерение самоподобия множества Кантора:
d = log 2 / log 3 = 0.630929754 ...,
размерность автомодельности треугольника Серпинского равна:
d = log 3 / log 2 = 1.584962501 ...,
тогда как измерение самоподобия ковра Серпинского:
d = log 8 / log 3 = 1.892789261 ...
Поэтому еще одна задача для математиков состоит в том, чтобы вычислить размеры фрактальных множеств, что является сложным процессом.

Фракталы используются в различных сферах жизни. В настоящее время почти каждый мобильный телефон использует встроенную фрактальную антенну. В окружающей нас природе существует много фрактальных эквивалентов. Примеры включают снежинки, систему кровеносных сосудов, речные водные системы, молнии, облака, фьорды, синусоиды и скальные образования. Фракталы - это объекты, которые часто встречаются в компьютерной графике, потому что многие компьютерные программы создаются специально для получения фрактальных изображений.

Изображения приходят из Википедии ( http://pl.wikipedia.org ), авторы / пользователи: Роберт Сонтхаймер, Überraschungsbilder (фото Скотт Дрейвс и Электрические овцы ), Kimbar, Wrtlprnft, Agro1986, Томаш Венгжановский, Wrtlprnft, Solkoll, Soler97 и Fir0002.